\section{群的线性表示}

\begin{definition}[][线性表示]
    \textbf{Linear representation}\quad
    若$m\times m$矩阵构成的群$D(G)$与群$G$同构或同态，则$D(G)$是群$G$的一个线性表示。
    $G$中元素$R$的矩阵$D(R)$为$R$的\textbf{表示矩阵}。$D(R)$的迹为$R$的\textbf{特征标}。
\end{definition}
\begin{enumerate}
    \item 恒元的表示矩阵为单位矩阵。互为逆元的元素的表示矩阵互为逆矩阵。
    \item 若$D(G)$与群$G$同构,则$D(G)$称为群$G$的真实表示,若同态,则称非真实表示.
    \item 让群中所有元素都对应$1$,$D(R)=1$,得到的表示称为恒等表示,也称平庸表示.任何群都有恒等表示.
    \item 矩阵群本身是自已的一个表示,称为自身表示.
    \item 表示矩阵都是幺正矩阵的表示称为幺正表示.
    \item 表示矩阵都是实正交矩阵的表示称为实正交表示.
\end{enumerate}

\begin{note}
    从群论观点看,两个同构的群,群的性质相同.由于矩阵群比较容易研究,
    如能找到一个矩阵群和给定群同构,那么,研究清楚此矩阵群的性质,
    也就完全掌握了给定群的性质.如果矩阵群只是与给定群同态,
    那么,矩阵群只反映给定群的部分性质,但对研究给定群的性质也有作用.
    与给定群同构或同态的矩阵群称为给定群的线性表示.
\end{note}

\begin{definition}[][群的正则表示]
    \textbf{Regular representation of group}\quad
    设 \( G \) 是一个群，考虑在复数域 \( \mathbb{C} \) 上的向量空间 \( \mathbb{C}[G] \)，
    其基是群 \( G \) 的元素。
    我们可以定义一个线性变换 \( \rho: G \to \text{GL}(\mathbb{C}[G]) \)，
    使得每个群元素 \( g \in G \) 对应于一个线性变换 \( \rho(g) \)。
    对于任意 \( g \in G \) 和任意的群元素 \( h \in G \)，我们定义：
    \[
        \rho(g)(h) = gh
    \]
    这里的 \( \rho(g) \) 是一个作用在 \( \mathbb{C}[G] \) 上的线性变换。

    \begin{equation*}
        S(R) = \sum_{P\in G} P D_{R}(S)
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
        D_{R}(S) = \begin{cases}
            1 & ,  P = SR  \\
            0 & ,  P\ne SR
        \end{cases}
    \end{equation*}
    $S(R)$表示此时$S$是一个算符。
\end{definition}
\begin{note}
    什么意思呢？以正三角型对称群为例，$P=(E,D,F,A,B,C)$
    取$S=D$，$DE = D = P(0,1,0,0,0,0)^T$，则第$E$列，即第$1$列为$(0,1,0,0,0,0)^T$
    $DA = B = P(0,0,0,0,1,0)^T$，则第$A$列，即第$4$列为$(0,0,0,0,1,0)^T$
\end{note}
\begin{note}
    我们习惯于用自然数标记矩阵的行和列,这不是必要的.
    其实只要足以区分行(列)的任何指标都可以用来标记矩阵的行(列).
    正则表示是一个典型的例子,它用群元素来标记矩阵的行(列).
    知道了群的乘法表,群的正则表示很容易写出来元素$S$在正则表示中的矩阵形式
    由乘法表中第$S$行的乘积元素决定,表示矩阵第$R$列不为零的矩阵元素所在行,
    就是乘法表$S$行中$R$列的乘积元素标记的行.

    \tabref{tbl:GroupTableOfEquilateralTriangleSymmetryGroup} 为正三角型对称群的乘法表
    \begin{table}[htbp]
        \centering
        \caption{正三角形对称群的群表\label{tbl:GroupTableOfEquilateralTriangleSymmetryGroup}}
        \begin{tabular}{ccccccc}
            \midrule
              & E & D & F & A & B & C \\\toprule
            E & E & D & F & A & B & C \\
            D & D & F & E & B & C & A \\
            F & F & E & D & C & A & B \\
            A & A & C & B & E & F & D \\
            B & B & A & C & D & E & F \\
            C & C & B & A & F & D & E \\
            \bottomrule
        \end{tabular}
    \end{table}
    那么根据乘法表可以得到$D(D)$：
    \begin{enumerate}
        \item 找到$D$所在的行(第二行)
        \item 依顺序查看群元素$E,D,F,A,B,C$在这一行中出现的位置$i$。
        \item 按照这个位置从上往下将矩阵的第$i$列置1.
        \item 如$E$是第$1$个群元素，出现在$D$行的第$3$列，那么$D(D)_{13}=1$. $A$是第$4$个群元素，出现在$D$行的第$6$列那么$D(D)_{46}=1$.
    \end{enumerate}
    \begin{equation*}
        D(D) =
        \begin{pmatrix}
            0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
            1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
            0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
            0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
            0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
            0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
        \end{pmatrix}
    \end{equation*}

    从上面的过程可知，正则表示的矩阵有如下性质:
    \begin{enumerate}
        \item 矩阵的大小为群的阶
        \item 矩阵的每一行和每一列都只包含一个非零元素
        \item 单位元的正则表示为单位矩阵，其特征标为1，其他元素的正则表示的特征标为0，即对角元全是0.
        \item 正则表示与群同构。
    \end{enumerate}

    以上方法生成的正则表示代表的算符作用与元素的左边（左乘）。
    也可以得到右乘表示的矩阵，只是把上面步骤里的行列调换一下。如
    \begin{equation*}
        \overline{D}(D) =
        \begin{pmatrix}
            0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
            0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
            1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
            0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
            0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
            0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
        \end{pmatrix}
    \end{equation*}
\end{note}

\section{标量函数的变换算符}

\begin{definition}[][标量变换]
    \textbf{Scalar transformation}\quad
    有一个关于$x$标量场$\psi$,其变换前后应保持不变
    \begin{equation*}
        x\Map{R}\prx = Rx
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
        \psi(x)\Map{R}\psi^\prime (\prx)=\psi(x)
    \end{equation*}
    引入算符$P_R$
    \begin{equation*}
        P_R\psi = \psi^\prime, \quad P_R\psi(\prx)=\psi^\prime (\prx)=\psi(x)=\psi(\inv{R}\prx)
    \end{equation*}
    用$x$替换$\prx$
    \begin{equation*}
        P_R\psi(x) =\psi(\inv{R}\prx)
    \end{equation*}
\end{definition}

\begin{note}
    $\psi$和$P_R\psi$是不同的函数形式。$P_R$对任意函数$\psi(x)$的作用规则:

    只要把原来函数中的自变量$x$换成$\inv{R}x$,再把它看成$x$的函数, 就得到新的函数形式$P_R\psi$.

    $P_R$显然是线性算符.
\end{note}

\begin{example}[][一维平动变换]
    \begin{equation*}
        x\Map{T(a)}\prx = T(a)x = x+a
    \end{equation*}
\end{example}

\begin{solution}
    \begin{equation*}
        x = \inv{T(a)}\prx = \prx - a
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
        P_{T(a)}\psi(x)=\psi(\inv{T(a)}x)=\psi(x-a)
    \end{equation*}

    \begin{equation*}
        P_{T(a)}\psi(x)=\McEpOp{\psi(x)}{-a}=\exp{-a\ddx{}}\psi(x)
    \end{equation*}

\end{solution}

\begin{definition}[][线性算符的标量变换]
    \textbf{Scalar transformations of linear operators}\quad
    线性算符$L(x)$表示
    \begin{equation*}
        \psi_B(x)=L(x)\psi_A(x)
    \end{equation*}
    经过标量变换$R$后
    \begin{align*}
        \psi_A(x)\Map{R}\psi^\prime_A(x) & = P_R\psi_A(\prx) \\
        \psi_B(x)\Map{R}\psi^\prime_B(x) & = P_R\psi_B(\prx)
    \end{align*}
    线性算符$L$也发生变换
    \begin{equation*}
        L(x)\Map{R}\prL(\prx)
    \end{equation*}
    则
    \begin{equation*}
        \prL(x)=\invTT{P_R}{L(x)}
    \end{equation*}
\end{definition}
\section{等价表示和表示的幺正性}

\begin{definition}[][等价表示]
    \textbf{Equivalent representations}\quad
    若群$G$的所有元素$R$在两个表示$D(G)$和$\overline{D}(G)$上存在一组相似变换关系
    \begin{equation*}
        \overline{D}(G)=\invT{X}{D(R)}
    \end{equation*}
    则称两个表示是等价表示。
    记作
    \begin{equation*}
        D(G)\backsimeq  \overline{D}(G)
    \end{equation*}
\end{definition}

\begin{theorem}[][幺正表示]
    \textbf{unitary expression}\quad
    有限群的线性表示等价于幺正表示,而且两个等价的幺正表示一定可以通过幺正的相似变换相联系.
\end{theorem}

\begin{note}
    \par 对有限群的任意一个给定表示,可以找出相似变换,把它化为幺正表示,
    然后,对两个等价的幺正表示,具体找出幺正的相似变换把它们联系起来.

    \par 但是作为一种计算方法,这方法太繁了,不实用.
    在实际物理问题里,对有限群和大部分无限群,
    算符P是幺正的,只要选取正交归一的(函数)基,表示就是幺正的.
    物理中重要的例外就是洛伦兹滋变换群,它是无限群，除恒等表示外,它根本不存在有限维幺正表示.

    \par 重点在于告诉我们,有限群的任何表示都存在等价的幺正表示,而且等价的幺正表示之间,
    都存在幺正的相似变换.这样,今后对有限群,我们只需要讨论幺正表示和幺正的相似变换,以简化计算.
\end{note}


\section{有限群的不等价不可约表示}

\begin{definition}[][可约表示]
    \textbf{reducible expression}\quad
    若群G表示D(G)的每一个表示矩阵矩阵D(R)都能通过一个相似变换变为同一形式的阶梯矩阵
    \begin{equation*}
        \invT{X}{D(R)}=\begin{pmatrix}
            D^{(1)}(R)     & M(R)       \\
            \boldsymbol{0} & D^{(2)}(R) \\
        \end{pmatrix}
    \end{equation*}
    则称此表示为可约表示。否则为不可约表示。
    若可表示为
    \begin{equation*}
        \invT{X}{D(R)}=\begin{pmatrix}
            D^{(1)}(R)     & \boldsymbol{0} \\
            \boldsymbol{0} & D^{(2)}(R)     \\
        \end{pmatrix}
        =D^{(1)}(R) \bigoplus D^{(2)}(R)
    \end{equation*}
    则为完全可约表示。$D^{(1)}(R)$和$D^{(2)}(R)$代表俩个互补的不变子空间。
\end{definition}
\begin{cor}
    有限群的可约表示一定是完全可约的。
\end{cor}
\begin{proof}
    有限群有幺正表示，对于幺正表示，不同子空间是正交归一的，因此$M(R)$只能是零矩阵。
\end{proof}
\begin{note}
    \par 表示D(G)的性质完全由两个子表示的性质表达出来.
    反过来说,把若干个不可约表示直和起来,就构成一个已完全约化的可约表示.
    这样的可约表示没有给出任何新的性质:
    它的表示空间是若干个不可约表示的表示空间的直和,
    空间中的矢量可唯一地分解为分属各子空间的矢量之和,分别按各不可约表示变换.
    因此,寻找群所有不等价表示的问题进一步简化为寻找群的所有不等价不可约表示的问题.
    \par 群论的基本任务就是如何判别表示的等价性和不可约性,找出给定群的所有不等价不可约表示,
    以及如何把可约表示约化为不可约表示的直和.
\end{note}

\begin{lemma}[][舒尔定理一]
    \textbf{Schur's lemma 1}\quad
    与不可约表示$D(G)$的所有表示矩阵$D(R)$对易的矩阵必为常数矩阵。
    即若$D(R)X=XD(R)$,则$X=\lambda E$.
\end{lemma}

\begin{cor}
    有限群表示不可约的充要条件是不可能找到非常数矩阵与所有表示矩阵对易.
\end{cor}

\begin{lemma}[][舒尔引理二]
    \textbf{Schur's Theorem 2}\quad
    $D^{(1)}(R)$和$D^{(2)}(R)$ 是群G的两个不等价不可约表示，若对每一个元素，满足以下
    \begin{equation*}
        D^{(1)}(R)X = XD^{(2)}(R)
    \end{equation*}
    则$X=\boldsymbol{0}$.
\end{lemma}

\begin{theorem}[][广义正交定理]
    \textbf{Generalized Orthogonality Theorem}\quad
    有限群的不可约幺正表示$D^i(G)$和$D^j(G)$的矩阵元满足正交关系：
    \begin{equation*}
        \sum_{R\in G}D^i_{\mu\rho}(R)^* D^j_{\nu\lambda} =
        \frac{g}{m_j}\delta_{ij}\delta{\mu\nu}\delta{\rho\lambda}
    \end{equation*}
\end{theorem}

\begin{note}
    只要群$G$的两表示是不等价不可约的,它们的矩阵元素就是互相正交的.
\end{note}

\begin{cor}
    \begin{enumerate}
        \item 有限群不等价不可约表示维数平方和不大于群的阶数.
        \item 有限群不等价不可约表示的特征标,作为群空间的矢量互相正交
        \item 有限群不等价不可约表示的个数不能大于群的类数
        \item 有限群两表示等价的充要条件是每个元素在两表示中的特征标对应相等
        \item 有限群表示为不可约表示的充要条件是$\sum|\chi (R)|=g$
    \end{enumerate}
    以上不大于号是等号。
\end{cor}

\section{有限群的不可约表示的特征标表}

\begin{note}
    \par 群论的主要任务就是对于各种典型的群,特别是物理中常见的对称变换群,
    寻找它们的所有不等价不可约表示,研究可约表示的约化方法.

    \par 对有限群,
    \begin{enumerate}
        \item 首先找它们的所有不等价不可约表示的特征标
        \item 把特征标列成表,称为有限群的特征标表
        \item 再找不可约表示的表示矩阵
        \item 群元素都可以表为生成元的乘积,找出生成元的表示矩阵也就够了
    \end{enumerate}
    选择适当的表象,使表示矩阵用起来最方便.这样的表示称为不可约表示的标准形式.
    这里所谓的"最方便"当然与所研究的物理问题有关,通常希望尽可能多的生成元表示矩阵是对角化的.
    对一个非阿贝尔群,至少在真实表示中,生成元表示矩阵不可能都是对角化的.
    \par 一个有限群G的所有不等价不可约表示中,既有真实表示,也有非真实表示,
    非真实表示同构于群G的商群,而商群的阶数比群G的阶数要低,
    因而它的不等价不可约表示比较好找.
    掌握阶数较低群的所有不等价不可约表示有利于研究较复杂群的不可约表示.
    有限群的一维表示基本上都可以通过找商群不可约表示的方法得到,
    因而找出有限群的所有不变子群及其商群是分析一个有限群的重要步骤.
\end{note}
\subsection{N阶循环群}
$N$阶循环群$C_N$的标准形式为
\begin{equation*}
    C_N=\{E,R,R^2,\cdots,R^{N-1}\},\quad R^N=E
\end{equation*}
循环群是阿贝尔群，阶数等于类数，因此不可约表示都是一维的。
有$N$个不等价一维表示。表示矩阵满足乘积关系：
\begin{equation*}
    D^j(R)^N=D^j(E)=1
\end{equation*}

二阶循环群$C_2$有两个不等价不可约表示：恒等表示$D^A$和反对称表示$D^B$,特征标表见
\tabref{tbl:GroupTableOfEquilateralTriangleSymmetryGroup}.

\begin{table}[htbp]
    \centering
    \caption{$C_2$群的特征标表\label{tbl:CharacteristicTableOfC2Group}}
    \begin{tabular}{ccc}
        \midrule
            & $E$ & $R$  \\\toprule
        $A$ & $1$ & $1$  \\
        $B$ & $1$ & $-1$ \\
        \bottomrule
    \end{tabular}
\end{table}
